高等数学基础篇（数二）之二重积分（解析版）

目录

1.二重积分的概念及性质

1.1二重积分的概念

1.2二重积分的性质

2.二重积分的计算

2.1利用直角坐标计算

2.2利用极坐标计算

2.3利用函数的奇偶性计算

2.4利用变量的轮换对称性计算

1.二重积分的概念及性质

1.1二重积分的概念

1.2二重积分的性质

2.二重积分的计算

补充： 二重积分的计算可以大概理解为拆分，化二重积分为累次积分，也就是说将二重积分化为两个定积分。因为定积分的计算比较简单，而且更加成熟，方法更加多样。

2.1利用直角坐标计算

过x轴做平行于y轴的射线，先进点为下限φ1（x），后出点为上限φ2（x）；

过y轴做平行于x轴的射线，先进点为下限φ1（y），后出点为上限φ2（y）；（图形不在展示跟上面差不多）

2.2利用极坐标计算

补充说明：

1.圆：

2.圆环：

3.偏心圆：

（1）a>0时，偏向x轴正向

（2）a<0时，偏向x轴负向

4.偏心圆：

（1）b>0时，偏向y轴正向

（2）b<0时，偏向y轴负向

优先级：

因为适合用极坐标计算的特征有两点，所有说会出现优先级的问题

（1）出现适合被积函数，又出现适合积分域，可用极坐标

（2）出现适合被积函数，未出现适合积分域，可用极坐标

（3）出现适合积分域，未出现适合被积函数，不用极坐标

以上的总结，只是应对一般情况，还要根据题目的实际情况而定；

2.3利用函数的奇偶性计算

补充说明：

这个计算方法的结论要同时满足两种特征才可以使用：

（1）积分区域关于x（y）轴对称

（2）f（x，y）关于x（y）有奇偶性

2.4利用变量的轮换对称性计算

补充说明：

积分值与积分变量与用什么记号无关